Master parcours Modélisation et méthodes mathématiques en économie et finance

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Objectifs:

Ce cours présente les notions fondamentales associées au calcul des probabilités. Il met notamment en œuvre les concepts et les outils étudiés en théorie de la mesure. Il a pour objectif de fournir le bagage théorique nécessaire pour aborder en Master 2 les problématiques de modélisation aléatoire.

 Contenu du cours:

• Espace de probabilité et vecteur aléatoire : tribu, mesure, notion de mesurabilité, rappels d’intégration, théorèmes de convergence 

• Loi de probabilité : atome, loi à densité (principe de domination), lois marginales, notion d’indépendance, noyau de transition, fonction de répartition
• Espérance mathématique : théorème de transfert, inégalités usuelles, notion d’indépendance.
• Espaces Lp
• Espérance conditionnelle sur une sous-tribu : présentation théorique, propriétés, notion d’indépendance, applications
• Fonctions caractéristiques :  théorème d’injectivité et formule d’inversion de Fourier, notion d’indépendance.
• Vecteurs Gaussiens : caractérisations, notion d’indépendance, espérance conditionnelle.
• Convergences : presque sûre, stochastique, au sens Lp
• Convergence en Loi : caractérisations (théorème porte-manteau, Scheffé, théorème de Lévy)
• Théorèmes Limites : Lois de grands nombres, théorème central limite.

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Objectifs: 

Le but de ce cours est d’étudier les modèles paramétriques dans un cadre asymptotique. Après un rappel des principaux résultats de convergence, on construira les estimateurs du vecteur paramètre et on donnera leurs propriétés asymptotiques. Il finira par une introduction  à la théorie des tests. 

 Contenu du cours:

1. Rappel de probabilités :
   1. Intégration, variables aléatoires, indépendance
   2. Convergences. Lemme du porte-manteau.
   3. Delta-méthode.
   4. Espérance conditionnelle
2. Estimation paramétrique :
   1. Statistiques exhaustives et complètes, famille exponentielle. Critères d’optimalité.
   2. Méthode des moments.
   3. Maximum de vraisemblance
3. M-estimateurs.
4. Régions de confiance, tests paramétriques et introduction à la sélection de modèles.

Références:

- Saporta, G., Probabilités, analyse des données et statistiques. Technip. 1990

- van der Vaart, A.W. Asymptotic statistics Cambridge series in statistical and probabilistic mathematics, Cambridge University Press. 1998

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L’objectif principal est 1) de savoir montrer l’existence d’un problème d’optimisation grâce à des conditions topologiques (continuité, compacité,...) 2) De savoir calculer les solutions dans certains cas, en utilisant des conditions du premier ordre (type KKT) et parfois second ordre (sous des hypothèses de type convexité/concavité). On formulera d’abord les conditions du premier ordre en utilisant le cône tangent, afin de comprendre la nature géométrique du problème, et on montrera KKT en calculant le cône tangent sous des hypothèses de type Slater ou qualification. Enfin, on commencera un peu la théorie de la dualité. 

 Contenu du cours:

1- Exemples (data science, micro, macro …). Préliminaires et rappels (topologie, géométrie, inf, sup, fonctions implicites,...) 

2- Existence d’un problème d’optimisation (cas d’une fonction s.c.s. ou s.c.i., et de contraintes compactes ou fermées avec condition de coercivité, cas de la dimension finie). On évoquera un peu le cas de la dimension infinie. 

3- Cône tangent, cône normal. 

4- CN du premier ordre (avec cône normal). 

5- CN du premier ordre, cas particulier: a) contraintes d’égalités (Lagrange), b) contraintes d’égalités et d’inégalités (KKT). Ce dernier théorème sera montré sous deux types de conditions: Slater ou Régularité+Qualification. 

6- Convexité, Concavité et CS du deuxième ordre. 

7- Dualité (cas non linéaire): point-selle, théorème de dualité. 

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Objectifs: L’objectif est de connaître certaines méthodes spécifiques permettant étudier un problème d’optimisation dynamique à horizon fini ou infini, principalement 1) L’approche  par conditions du premier ordre 2) l’ approche topologique pour l’existence d’uns solution ) 3) L’approche``à la Bellman.”  

Contenu du cours:

1- Rappel d’optimisation, KKT. 

2- Problème d’optimisation dynamique en temps fini ou infini: variable d’état, d’action (exemples en macro).  

3- Cas horizon fini: équation d’Euler (condition du premier ordre), exemple de résolution. Principe de Backward induction permettant de calculer les solutions. 

4- Cas horizon infini: approche topologique (sur une classe d’exemples, comment on peut définir une bonne distance pour obtenir la compacité et l’existence d’une solution).

5- Cas horizon infini: approche à la Bellman. 

   a) Rappels sur les espaces de Banach. 

   b) Théorème de point-fixe de Banach. 

   c) Théorème de Blackwell. 

   d) Opérateur de Bellman. 

   e) La fonction valeur d’un problème d’optimisation à horizon infini est un point-fixe de l’opérateur de Bellman, et réciproquement (sous certaines conditions). 

   f) Applications et exemples. 

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Objectifs: 

Le cours décrit l’histoire de l’élaboration du cadre utilisé aujourd’hui pour décrire la dynamique de l’économie. Il insiste sur le rôle crucial joué par l’accumulation du capital pour rendre compte de la croissance exceptionnelle du produit par tête qu’ont connu les économies occidentales à partir du 19e siècle. Après avoir décrit le comportement d’accumulation du capital par les entreprises, il présente les modèles de croissance dans lesquels l’offre de capital obéit à une logique keynésienne, puis conclut le cours par une première intégration d’un comportement d’épargne optimal. Il n’y a pas de prérequis.

Contenu du cours:

1. Faits stylisés de la croissance économique
2. L’accumulation du capital
3. La décomposition de la croissance
4. La croissance en déséquilibre : l’approche de Harrod-Domar
5. Le modèle de Solow
6. Le modèle de cycle de vie

Références:

Blanchard, O. et D. Cohen, Macroéconomie, Pearson, 8e édition, 2020

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Objectifs: 

Le cours suit Macroeconomics 1A et présente les deux principaux cadres d’analyse des modèles de croissance que l’on utilise aujourd’hui pour discuter l’impact dynamique de politiques économiques : le modèle de croissance optimal (Ramsey-Cass-Koopmans) et le modèle à générations imbriquées.

Contenu du cours:

1. Le sentier de consommation optimal : l’équation d’Euler
2. La dynamique optimale : Règle d’or modifiée
3. Les théorèmes de l’économie du bien-être
4. Générations imbriquées et inefficacité de l’équilibre

Références:

Gauthier, S., Macroéconomie, Economica, 2012.

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Objectifs : Option pricing in discrete and continuous time, with martingales use and first steps of stochastic calculus.

Contenu du cours :

Chapter I. Preliminaries
   1. Derivative products, description and use: Forward/Future contracts, Options
   2. Rates and discounting
   3. Arbitrage methods

Chapter II. Forward contracts pricing (reminder, in tutorial)

Chapter III. Mathematical tools
   1. Conditional expectation, martingale.

Chapter IV. Option pricing in discrete time
   1. N periods binomial model (Cox-Ross-Rubinstein); self-financing strategies,
   2. risk-neutral probability, martingale property of the discounted price process,
   3. option pricing, delta hedging.

Chapter V. Option pricing in continuous time: Black-Scholes model
   1. Brownian motion and Ito processes.
   2. Quadratic variation of the Brownian motion,
   3. Ito integral for a simple process,
   4. Extension to the computation of ∫B_tdB_t, 
   5. Ito lemma (heuristic proof).
   6. Black-Scholes model
   7. Partial differential equation approach, hedging from that equation.
   8. Probabilistic approach for European options,
   9. Girsanov theorem (particular case),
 10. Black Scholes formula, delta computation, use.

Références :

• Hull, Options, futures, and other derivative securities, Prentice-Hall (2018: 10th ed).
• Baxter, M. and Rennie, A., Cambridge University Press, 1996.
• Kwok, Y.K., Mathematical models of financial derivatives, Springer, 2nd edition, 2008 (3 first chapters). 
• Jacod, J., Protter, P. (2000) Probability Essentials. Springer.

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Objectifs: Martingales and Markov chains in discrete time

Prerequisite: Probability with measure: σ-fields, measure space, measurable maps. Non-negative measures, integration of real valued functions. Convergence of sequences of real valued maps. Monotone convergence, Fatou lemma, dominated convergence (Lebesgue). Lp spaces. Probability measure. Random variables. Expectations of r.v. Independence of sub-σ-fields, independence of random variables.

Contenu du cours:

1. Conditional expectation, definition, properties
2. Discrete time processes, filtration, stopping time, Sigma-field of events determined prior to a stopping time
3. Discrete time Martingales, stopped martingales, optional sampling  theorem, maximal inequalities, convergence of martingales, regular martingales
4. Markov chains with countable states, conditional independence, Markov property, Markov sequences, transition matrix. Markov chains, communication classes, recurrence and transience, positive states, null states, invariant measures, ergodic properties
   
   

References

1. Jacques Neveu: Bases Mathématiques de la théorie des probabilités 
2. Jacques Neveu: Martingales en temps discret
3. Lacroix, P. Priouret, Cours: J. Lacroix, Probabilités approfondies, Université Pierre et Marie Curie, Master de Mathématiques, 2005-2006
4. Jean Jacod, Chaînes de Markov, Processus de Poisson et Applications, Université Pierre et Marie Curie, DEA de Probabilités et Applications, 2003-2004

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Objectifs:  Acquérir des bases en analyse fonctionnelle. 

Contenu du cours: 

- Processus diagonal de Cantor.

- Espaces de Banach de dimensions finies et infinies.

- Applications linéaires continues entre espaces de Banach.

- Théorème de points fixe de Banach-Picard.

- Théorème d’Arzela-Ascoli.

- Théorème de Baire.

-Théorème de la projection et théorème de Riesz dans les espaces de Hilbert.

Références:  

- Cours d’analyse fonctionnelle avec 200 exercices corrigés (Daniel Li)

- Analyse Fonctionnelle- Théorie et applications (Haim Brezis)

- Analyse pour l’agrégation (Hervé Queffélec, Claude Zuily)

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L’objectif principal est 1) de savoir montrer l’existence d’un problème d’optimisation grâce à des conditions topologiques (continuité, compacité,...) 2) De savoir calculer les solutions dans certains cas, en utilisant des conditions du premier ordre (type KKT) et parfois second ordre (sous des hypothèses de type convexité/concavité). On formulera d’abord les conditions du premier ordre en utilisant le cône tangent, afin de comprendre la nature géométrique du problème, et on montrera KKT en calculant le cône tangent sous des hypothèses de type Slater ou qualification. Enfin, on commencera un peu la théorie de la dualité. 

 Contenu du cours:

1- Exemples (data science, micro, macro …). Préliminaires et rappels (topologie, géométrie, inf, sup, fonctions implicites,...) 

2- Existence d’un problème d’optimisation (cas d’une fonction s.c.s. ou s.c.i., et de contraintes compactes ou fermées avec condition de coercivité, cas de la dimension finie). On évoquera un peu le cas de la dimension infinie. 

3- Cône tangent, cône normal. 

4- CN du premier ordre (avec cône normal). 

5- CN du premier ordre, cas particulier: a) contraintes d’égalités (Lagrange), b) contraintes d’égalités et d’inégalités (KKT). Ce dernier théorème sera montré sous deux types de conditions: Slater ou Régularité+Qualification. 

6- Convexité, Concavité et CS du deuxième ordre. 

7- Dualité (cas non linéaire): point-selle, théorème de dualité. 

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Objectifs:

Ce cours présente les notions fondamentales associées au calcul des probabilités. Il met notamment en œuvre les concepts et les outils étudiés en théorie de la mesure. Il a pour objectif de fournir le bagage théorique nécessaire pour aborder en Master 2 les problématiques de modélisation aléatoire.

 Contenu du cours:

• Espace de probabilité et vecteur aléatoire : tribu, mesure, notion de mesurabilité, rappels d’intégration, théorèmes de convergence 

• Loi de probabilité : atome, loi à densité (principe de domination), lois marginales, notion d’indépendance, noyau de transition, fonction de répartition
• Espérance mathématique : théorème de transfert, inégalités usuelles, notion d’indépendance.
• Espaces Lp
• Espérance conditionnelle sur une sous-tribu : présentation théorique, propriétés, notion d’indépendance, applications
• Fonctions caractéristiques :  théorème d’injectivité et formule d’inversion de Fourier, notion d’indépendance.
• Vecteurs Gaussiens : caractérisations, notion d’indépendance, espérance conditionnelle.
• Convergences : presque sûre, stochastique, au sens Lp
• Convergence en Loi : caractérisations (théorème porte-manteau, Scheffé, théorème de Lévy)
• Théorèmes Limites : Lois de grands nombres, théorème central limite.

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Objectifs: 

Le but de ce cours est d’étudier les modèles paramétriques dans un cadre asymptotique. Après un rappel des principaux résultats de convergence, on construira les estimateurs du vecteur paramètre et on donnera leurs propriétés asymptotiques. Il finira par une introduction  à la théorie des tests. 

 Contenu du cours:

1. Rappel de probabilités :
   1. Intégration, variables aléatoires, indépendance
   2. Convergences. Lemme du porte-manteau.
   3. Delta-méthode.
   4. Espérance conditionnelle
2. Estimation paramétrique :
   1. Statistiques exhaustives et complètes, famille exponentielle. Critères d’optimalité.
   2. Méthode des moments.
   3. Maximum de vraisemblance
3. M-estimateurs.
4. Régions de confiance, tests paramétriques et introduction à la sélection de modèles.

Références:

- Saporta, G., Probabilités, analyse des données et statistiques. Technip. 1990

- van der Vaart, A.W. Asymptotic statistics Cambridge series in statistical and probabilistic mathematics, Cambridge University Press. 1998

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Objectifs: 

Le cours décrit l’histoire de l’élaboration du cadre utilisé aujourd’hui pour décrire la dynamique de l’économie. Il insiste sur le rôle crucial joué par l’accumulation du capital pour rendre compte de la croissance exceptionnelle du produit par tête qu’ont connu les économies occidentales à partir du 19e siècle. Après avoir décrit le comportement d’accumulation du capital par les entreprises, il présente les modèles de croissance dans lesquels l’offre de capital obéit à une logique keynésienne, puis conclut le cours par une première intégration d’un comportement d’épargne optimal. Il n’y a pas de prérequis.

Contenu du cours:

1. Faits stylisés de la croissance économique
2. L’accumulation du capital
3. La décomposition de la croissance
4. La croissance en déséquilibre : l’approche de Harrod-Domar
5. Le modèle de Solow
6. Le modèle de cycle de vie

Références:

Blanchard, O. et D. Cohen, Macroéconomie, Pearson, 8e édition, 2020

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Objectifs: 

Le cours suit Macroeconomics 1A et présente les deux principaux cadres d’analyse des modèles de croissance que l’on utilise aujourd’hui pour discuter l’impact dynamique de politiques économiques : le modèle de croissance optimal (Ramsey-Cass-Koopmans) et le modèle à générations imbriquées.

Contenu du cours:

1. Le sentier de consommation optimal : l’équation d’Euler
2. La dynamique optimale : Règle d’or modifiée
3. Les théorèmes de l’économie du bien-être
4. Générations imbriquées et inefficacité de l’équilibre

Références:

Gauthier, S., Macroéconomie, Economica, 2012.

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Objectifs: 

Il s'agit d'un cours couvrant les concepts de base de la finance d'entreprise et de la prise de décision financière, tels que l'évaluation en l’absence d’arbitrage et la loi du prix unique, la valeur temps de l'argent, les règles de décision d'investissement, l'analyse des états financiers, l'évaluation de base des actions et des titres à revenu fixe, le modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF) et les principes fondamentaux de la structure financière d’une entreprise.

Contenu du cours:

Partie 1. Concepts de base (VAN, arbitrage, valeur temps de l'argent)

Partie 2. Analyse des états financiers

Partie 3. Évaluation des obligations et des actions

Partie 4. Risque et rendement : le modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF)

Partie 5. Structure financière et théorème de Modigliani-Miller

Références:

Corporate Finance (3rd edition), Berk & DeMarzo. Pearson publishing.

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Objectifs: 

Estimer les paramètres d’un modèle linéaire, expliquer les conditions pour que ces estimations soient de qualité, en mesurer le degré de précision, juger de la validité empirique des présupposés théoriques du modèle et indiquer les précautions d’emploi du modèle estimé.

Contenu du cours:

-- Régression linéaire simple : modèle et estimation, analyse de la variance, coefficient de détermination, test sur la nullité de la pente

-- Régression linéaire multiple : quatre formules fondamentales, colinéarité statistique, algorithmes de construction de modèle ne comprenant que des variables significatives, étude de cas

--Analyse de la variance : analyse de la variance à deux facteurs croisés, test de Fisher, test de Student

Références:

Jean-Marc Azaïs et Jean-Marc Bardet, Le modèle linéaire par l’exemple : Régression, Analyse de la variance et Plans d’expérience illustrés avec R, SAS et Splus. Dunod, 2006.

Virginie Delsart, Arnaud Rys et Nicolas Vaneecloo, Économétrie théorie et application sous SAS. Septentrion, 2009. 

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Objectifs :  

description des principaux actifs financiers et étude de leurs motivation, évaluation et risque.

Contenu du cours :

Chapitre 1. Notions de base

Marchés, actions, obligations, indices, et leurs risques.

Taux d'intérêt, capitalisation, évaluation d’un cash-flow futur, cas aléatoire, aversion au risque. 

Chapitre 2. Obligations et courbes de taux

Obligations : pricing, yield-to-maturity, duration.

Courbes de taux, construction, interprétation, risque de crédit, ratings, spreads. 

Facteurs de risque : sensibilités aux déformations de la courbe de taux (duration, convexité, modèle de Nelson et Siegel), autres risques. 

Chapitre 3. Produits dérivés

Description et utilisation : Forwards, Futures, Options.    

Hypothèses de pricing et évaluation par arbitrage.

Calcul des prix forwards en fonction du coût de portage, formes de la courbe forward, notion de convenience yield. 

FRA, taux forward instantané. Swaps, CDS.

Options pricing: modèle à une période.

Références :

Financial markets, institutions, and money. F.S. Mishkin.

Portait-Poncet Finance de marché - Instruments de base, produits dérivés, portefeuilles et risques. 

Fixed-income Securities. Valuation, Risk Management and Portfolio Strategies. Lionel Martellini, Philippe Priaulet, and Stéphane Priaulet.

The handbook of fixed income securities, Fabozzi, 4th edition; ed: Irwin.

Options, futures, and other derivative securities, J. Hull, Prentice-Hall (2018: 10th ed).

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Objectifs: 

Le cours décrit l’histoire de l’élaboration du cadre utilisé aujourd’hui pour décrire la dynamique de l’économie. Il insiste sur le rôle crucial joué par l’accumulation du capital pour rendre compte de la croissance exceptionnelle du produit par tête qu’ont connu les économies occidentales à partir du 19e siècle. Après avoir décrit le comportement d’accumulation du capital par les entreprises, il présente les modèles de croissance dans lesquels l’offre de capital obéit à une logique keynésienne, puis conclut le cours par une première intégration d’un comportement d’épargne optimal. Il n’y a pas de prérequis.

Contenu du cours:

1. Faits stylisés de la croissance économique
2. L’accumulation du capital
3. La décomposition de la croissance
4. La croissance en déséquilibre : l’approche de Harrod-Domar
5. Le modèle de Solow
6. Le modèle de cycle de vie

Références:

Blanchard, O. et D. Cohen, Macroéconomie, Pearson, 8e édition, 2020

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Objectifs: 

Ce cours est un cours de microéconomie mathématique. Il porte sur les comportements rationnels et les prises de décisions des consommateurs et des producteurs. Il se concentre d’abord sur les résultats fondamentaux des théories de la demande Walrasienne, des préférences révélées et des décisions dans l'incertain. Ensuite, quant au producteur, l'objectif est d’analyser deux comportements classiques, c.-à-d. la maximisation du profit et la minimisation des coûts, et les liens entre les deux. Les méthodes mathématiques utilisées vont de la topologie, à l'analyse et l'optimisation sous contraintes.

 Contenu du cours:

1. Préférences, maximisation des préférences sous contrainte budgétaire, demande Walrasienne.
2. Structures de choix, préférences révélées, axiome faible de la préférence révélée.
3. Théorie de l'utilité espérée, Théorème d'utilité de von Neumann-Morgenstern, paradoxes.
4. Ensemble de production, fonction de transformation, fonction de production, propriétés.
5. Maximisation du profit, offre du producteur.
6. Minimisation des coûts, demande du producteur.
7. Liens entre la maximisation du profit et la minimisation des coûts.

Références:

Mas-Colell, A., Whinston, M.D., Green, J., “Microeconomic Theory”, Oxford University Press, 1995. 

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Objectifs: L’objectif est de connaître certaines méthodes spécifiques permettant étudier un problème d’optimisation dynamique à horizon fini ou infini, principalement 1) L’approche  par conditions du premier ordre 2) l’ approche topologique pour l’existence d’uns solution ) 3) L’approche``à la Bellman.”  

Contenu du cours:

1- Rappel d’optimisation, KKT. 

2- Problème d’optimisation dynamique en temps fini ou infini: variable d’état, d’action (exemples en macro).  

3- Cas horizon fini: équation d’Euler (condition du premier ordre), exemple de résolution. Principe de Backward induction permettant de calculer les solutions. 

4- Cas horizon infini: approche topologique (sur une classe d’exemples, comment on peut définir une bonne distance pour obtenir la compacité et l’existence d’une solution).

5- Cas horizon infini: approche à la Bellman. 

   a) Rappels sur les espaces de Banach. 

   b) Théorème de point-fixe de Banach. 

   c) Théorème de Blackwell. 

   d) Opérateur de Bellman. 

   e) La fonction valeur d’un problème d’optimisation à horizon infini est un point-fixe de l’opérateur de Bellman, et réciproquement (sous certaines conditions). 

   f) Applications et exemples. 

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Objectifs: 

Les problèmes d'optimisation avec une fonction objectif et des contraintes linéaires (appelés classiquement "programmes linéaires") constituent une classe importante de problèmes pour lesquels il existe des méthodes de résolution efficaces, en particulier la méthode du simplexe. De plus, la programmation

linéaire constitue l'outil fondamental de résolution des problèmes d'optimisation en recherche opérationnelle, qui ont une grande importance pratique : problèmes d’affectation, transport, production, planification, etc. Elle est aussi étroitement reliée à la résolution des systèmes d'inégalités et aux polyèdres convexes. Le cours se limite aux problèmes avec variables continues. Le cas des variables 0-1 ou entières, très courant en pratique, est traité dans le cours “Optimisation Combinatoire” pour lequel ce cours est un pré-requis.

Contenu du cours:

1. Présentation de quelques problèmes pratiques courant en recherche opérationnelle, et modélisation sous forme de programme linéaire.
2. Forme standard d'un programme linéaire, interprétation et résolution géométrique.
3. La méthode du simplexe, notion de dictionnaire, de solution de base.
4. Initialisation du simplexe, méthode à 2 phases, bouclage, temps de calcul.
5. Notion de dualité, écarts complémentaires, interprétation économique du dual.
6. La méthode révisée du simplexe.
7. Solvabilité d'un système d’inégalités linéaires, lemmes de Farkas, élimination de Fourier-Motzkin.
8. Analyse de sensibilité.
9. Les autres méthodes de résolution (ellipsoïde, méthode du point intérieur)
10. Polyèdres et polytopes convexes, sommets et rayons extrêmes

Références:

• Chvatal. Linear programming. W.H. Freeman and Company, 1983.
• Matousek, B. Gärtner. Understanding and using linear programming. Springer Universitext, 2007.
• Gondran, M. Minoux. Programmation mathématique, Théorie et Algorithmes. Dunod, 1983.

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Objectifs: 

Il s'agit d'un cours couvrant les concepts de base de la finance d'entreprise et de la prise de décision financière, tels que l'évaluation en l’absence d’arbitrage et la loi du prix unique, la valeur temps de l'argent, les règles de décision d'investissement, l'analyse des états financiers, l'évaluation de base des actions et des titres à revenu fixe, le modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF) et les principes fondamentaux de la structure financière d’une entreprise.

Contenu du cours:

Partie 1. Concepts de base (VAN, arbitrage, valeur temps de l'argent)

Partie 2. Analyse des états financiers

Partie 3. Évaluation des obligations et des actions

Partie 4. Risque et rendement : le modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF)

Partie 5. Structure financière et théorème de Modigliani-Miller

Références:

Corporate Finance (3rd edition), Berk & DeMarzo. Pearson publishing.

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Objectifs: 

Estimer les paramètres d’un modèle linéaire, expliquer les conditions pour que ces estimations soient de qualité, en mesurer le degré de précision, juger de la validité empirique des présupposés théoriques du modèle et indiquer les précautions d’emploi du modèle estimé.

Contenu du cours:

-- Régression linéaire simple : modèle et estimation, analyse de la variance, coefficient de détermination, test sur la nullité de la pente

-- Régression linéaire multiple : quatre formules fondamentales, colinéarité statistique, algorithmes de construction de modèle ne comprenant que des variables significatives, étude de cas

--Analyse de la variance : analyse de la variance à deux facteurs croisés, test de Fisher, test de Student

Références:

Jean-Marc Azaïs et Jean-Marc Bardet, Le modèle linéaire par l’exemple : Régression, Analyse de la variance et Plans d’expérience illustrés avec R, SAS et Splus. Dunod, 2006.

Virginie Delsart, Arnaud Rys et Nicolas Vaneecloo, Économétrie théorie et application sous SAS. Septentrion, 2009. 

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Objectifs :  

description des principaux actifs financiers et étude de leurs motivation, évaluation et risque.

Contenu du cours :

Chapitre 1. Notions de base

Marchés, actions, obligations, indices, et leurs risques.

Taux d'intérêt, capitalisation, évaluation d’un cash-flow futur, cas aléatoire, aversion au risque. 

Chapitre 2. Obligations et courbes de taux

Obligations : pricing, yield-to-maturity, duration.

Courbes de taux, construction, interprétation, risque de crédit, ratings, spreads. 

Facteurs de risque : sensibilités aux déformations de la courbe de taux (duration, convexité, modèle de Nelson et Siegel), autres risques. 

Chapitre 3. Produits dérivés

Description et utilisation : Forwards, Futures, Options.    

Hypothèses de pricing et évaluation par arbitrage.

Calcul des prix forwards en fonction du coût de portage, formes de la courbe forward, notion de convenience yield. 

FRA, taux forward instantané. Swaps, CDS.

Options pricing: modèle à une période.

Références :

Financial markets, institutions, and money. F.S. Mishkin.

Portait-Poncet Finance de marché - Instruments de base, produits dérivés, portefeuilles et risques. 

Fixed-income Securities. Valuation, Risk Management and Portfolio Strategies. Lionel Martellini, Philippe Priaulet, and Stéphane Priaulet.

The handbook of fixed income securities, Fabozzi, 4th edition; ed: Irwin.

Options, futures, and other derivative securities, J. Hull, Prentice-Hall (2018: 10th ed).

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Objectifs: 

Le cours décrit l’histoire de l’élaboration du cadre utilisé aujourd’hui pour décrire la dynamique de l’économie. Il insiste sur le rôle crucial joué par l’accumulation du capital pour rendre compte de la croissance exceptionnelle du produit par tête qu’ont connu les économies occidentales à partir du 19e siècle. Après avoir décrit le comportement d’accumulation du capital par les entreprises, il présente les modèles de croissance dans lesquels l’offre de capital obéit à une logique keynésienne, puis conclut le cours par une première intégration d’un comportement d’épargne optimal. Il n’y a pas de prérequis.

Contenu du cours:

1. Faits stylisés de la croissance économique
2. L’accumulation du capital
3. La décomposition de la croissance
4. La croissance en déséquilibre : l’approche de Harrod-Domar
5. Le modèle de Solow
6. Le modèle de cycle de vie

Références:

Blanchard, O. et D. Cohen, Macroéconomie, Pearson, 8e édition, 2020

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Objectifs: 

Ce cours est un cours de microéconomie mathématique. Il porte sur les comportements rationnels et les prises de décisions des consommateurs et des producteurs. Il se concentre d’abord sur les résultats fondamentaux des théories de la demande Walrasienne, des préférences révélées et des décisions dans l'incertain. Ensuite, quant au producteur, l'objectif est d’analyser deux comportements classiques, c.-à-d. la maximisation du profit et la minimisation des coûts, et les liens entre les deux. Les méthodes mathématiques utilisées vont de la topologie, à l'analyse et l'optimisation sous contraintes.

 Contenu du cours:

1. Préférences, maximisation des préférences sous contrainte budgétaire, demande Walrasienne.
2. Structures de choix, préférences révélées, axiome faible de la préférence révélée.
3. Théorie de l'utilité espérée, Théorème d'utilité de von Neumann-Morgenstern, paradoxes.
4. Ensemble de production, fonction de transformation, fonction de production, propriétés.
5. Maximisation du profit, offre du producteur.
6. Minimisation des coûts, demande du producteur.
7. Liens entre la maximisation du profit et la minimisation des coûts.

Références:

Mas-Colell, A., Whinston, M.D., Green, J., “Microeconomic Theory”, Oxford University Press, 1995. 

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Objectifs: L’objectif est de connaître certaines méthodes spécifiques permettant étudier un problème d’optimisation dynamique à horizon fini ou infini, principalement 1) L’approche  par conditions du premier ordre 2) l’ approche topologique pour l’existence d’uns solution ) 3) L’approche``à la Bellman.”  

Contenu du cours:

1- Rappel d’optimisation, KKT. 

2- Problème d’optimisation dynamique en temps fini ou infini: variable d’état, d’action (exemples en macro).  

3- Cas horizon fini: équation d’Euler (condition du premier ordre), exemple de résolution. Principe de Backward induction permettant de calculer les solutions. 

4- Cas horizon infini: approche topologique (sur une classe d’exemples, comment on peut définir une bonne distance pour obtenir la compacité et l’existence d’une solution).

5- Cas horizon infini: approche à la Bellman. 

   a) Rappels sur les espaces de Banach. 

   b) Théorème de point-fixe de Banach. 

   c) Théorème de Blackwell. 

   d) Opérateur de Bellman. 

   e) La fonction valeur d’un problème d’optimisation à horizon infini est un point-fixe de l’opérateur de Bellman, et réciproquement (sous certaines conditions). 

   f) Applications et exemples. 

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Objectifs: 

Les problèmes d'optimisation avec une fonction objectif et des contraintes linéaires (appelés classiquement "programmes linéaires") constituent une classe importante de problèmes pour lesquels il existe des méthodes de résolution efficaces, en particulier la méthode du simplexe. De plus, la programmation

linéaire constitue l'outil fondamental de résolution des problèmes d'optimisation en recherche opérationnelle, qui ont une grande importance pratique : problèmes d’affectation, transport, production, planification, etc. Elle est aussi étroitement reliée à la résolution des systèmes d'inégalités et aux polyèdres convexes. Le cours se limite aux problèmes avec variables continues. Le cas des variables 0-1 ou entières, très courant en pratique, est traité dans le cours “Optimisation Combinatoire” pour lequel ce cours est un pré-requis.

Contenu du cours:

1. Présentation de quelques problèmes pratiques courant en recherche opérationnelle, et modélisation sous forme de programme linéaire.
2. Forme standard d'un programme linéaire, interprétation et résolution géométrique.
3. La méthode du simplexe, notion de dictionnaire, de solution de base.
4. Initialisation du simplexe, méthode à 2 phases, bouclage, temps de calcul.
5. Notion de dualité, écarts complémentaires, interprétation économique du dual.
6. La méthode révisée du simplexe.
7. Solvabilité d'un système d’inégalités linéaires, lemmes de Farkas, élimination de Fourier-Motzkin.
8. Analyse de sensibilité.
9. Les autres méthodes de résolution (ellipsoïde, méthode du point intérieur)
10. Polyèdres et polytopes convexes, sommets et rayons extrêmes

Références:

• Chvatal. Linear programming. W.H. Freeman and Company, 1983.
• Matousek, B. Gärtner. Understanding and using linear programming. Springer Universitext, 2007.
• Gondran, M. Minoux. Programmation mathématique, Théorie et Algorithmes. Dunod, 1983.

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Objectifs: 

- L’objectif du cours est d’introduire les fondements et principales questions et approches qui interviennent de façon incontournable dans tous les cours ultérieurs du M2 MMMEF, M2MO ou du M2 TIDE où l’Apprentissage Statistique (machine learning), la Data Science et l'intelligence artificielle apparaissent en bonne place.

- Les séances alterneront entre cours magistraux et séances de travaux dirigés selon l’avancement et en fonction des besoins.

-Les supports de cours (slides) seront en anglais. Cette langue est en effet, qu'on le veuille ou non, un outil indispensable pour acquérir et transmettre des savoirs/informations dans le monde professionnel. Sa maîtrise (au moins pour le vocabulaire technique) est donc devenue indispensable à quiconque envisage une carrière dans le domaine de la Data Science ou de l'Intelligence Artificielle. 

Prérequis:   

        -avoir suivi des cours en théorie des probabilités

        -avoir suivi des cours en algèbre linéaire

Contenu du cours:

1. Linear regression:
   rappels d’algèbre linéaire, décomposition SVD, description du modèle,  estimation des paramètres par minimisation du risque empirique/maximisation de la vraisemblance, l’hypothèse gaussienne.
2. Model selection:
   Sur la base du modèle de régression linéaire, on envisage plusieurs modèles candidats.
   On introduit l’idée de quantification de la performance et justifie l’utilisation de critères pénalisés de type AIC. La procédure de validation-croisée sera également détaillée.
3. Classification:
   Différents types de modèles seront envisagés tels que la régression logistique,     l’analyse linéaire discriminante, le classifieur des k plus proches voisins.
4. Clustering:
   Nous envisagerons différentes stratégies pour définir des mesures de similarité et étudierons deux principales approches pour le clustering : les K -means et le clustering hiérarchique ascendant.
5. Data Visualization:
   Afin de pouvoir visualiser les résultats de l’analyse, nous envisagerons deux principales techniques de réduction de dimension telles que l’analyse en composantes principales et l’analyse canonique des corrélations. La question de l’estimation de densité par estimateurs histogramme ou à noyau sera détaillée.

Références: 

-Hastie, Tibshirani, Friedman. The elements of statistical learning: Data Mining, Inference and Prediction. Springer series in Statistics.

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Objectifs: le but de cet enseignement est de fournir les outils pour l’étude des phénomènes qui évoluent au cours du temps, de manière continue et déterministe (non aléatoire). L’outil de base est l’étude des équations différentielles. Ce cours vise non seulement à compléter la formation de L3 MIASHS de Paris 1 en faisant l’étude de ces notions habituellement faites en Licence et non vues à Paris 1 (théorème de Cauchy-Lipschitz, méthodes de résolution classiques), puis à donner des techniques qualitatives d’études, qui sont donc plus spécialisées. Une initiation aux techniques qualitatives est d’autant plus nécessaire que la plupart des équations n’admettent pas de solution calculable explicitement. Ce cours est un prérequis pour l’étude de tous les phénomènes qui évoluent au cours du temps (dynamique économique), et plus généralement les équations différentielles interviennent dans de nombreux champs d’application des mathématiques. 

Contenu du cours: nous étudierons les équations différentielles : notion de solution approchée, méthode d’Euler (explicite), théorème d’existence et d’unicité des solutions (Peano et Cauchy-Lipschitz), étude dans le cas linéaire, quelques techniques de résolution (équations linéaires, séparation des variables). Initiation aux techniques qualitatives (théorème des bouts, méthodes de barrière). Nous étudierons ensuite le cas particulier des équations autonomes (qui ne dépendent pas du temps)

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Objectifs: 

De nombreux problèmes concrets requièrent des solutions à valeurs entières (par exemple problèmes de transport, problèmes d'affectation, problèmes d'optimisation où l'on doit déterminer un nombre d'individus, un nombre d'avions,...). Pour de tels problèmes on ne peut pas utiliser les méthodes classiques de la programmation linéaire. On a besoin de méthodes spécifiques aux PLNE (programmes linéaires en nombres entiers).

On commencera par étudier des exemples de modélisation sous la forme de  PLNE. Nous verrons que la modélisation de certaines contraintes peut aussi nécessiter l'introduction de variables entières. Nous verrons ensuite les principales méthodes de résolution de ces problèmes.

 Contenu du cours:

1. Modélisation de problèmes d’optimisation en nombres entiers
2. Méthodes par séparation et évaluation
3. Méthodes par programmation dynamique
4. Méthode des coupes de Gomory

Références:

Sakarovitch, Optimisation combinatoire : méthodes mathématiques et algorithmiques

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Objectifs : Option pricing in discrete and continuous time, with martingales use and first steps of stochastic calculus.

Contenu du cours :

Chapter I. Preliminaries
   1. Derivative products, description and use: Forward/Future contracts, Options
   2. Rates and discounting
   3. Arbitrage methods

Chapter II. Forward contracts pricing (reminder, in tutorial)

Chapter III. Mathematical tools
   1. Conditional expectation, martingale.

Chapter IV. Option pricing in discrete time
   1. N periods binomial model (Cox-Ross-Rubinstein); self-financing strategies,
   2. risk-neutral probability, martingale property of the discounted price process,
   3. option pricing, delta hedging.

Chapter V. Option pricing in continuous time: Black-Scholes model
   1. Brownian motion and Ito processes.
   2. Quadratic variation of the Brownian motion,
   3. Ito integral for a simple process,
   4. Extension to the computation of ∫B_tdB_t, 
   5. Ito lemma (heuristic proof).
   6. Black-Scholes model
   7. Partial differential equation approach, hedging from that equation.
   8. Probabilistic approach for European options,
   9. Girsanov theorem (particular case),
 10. Black Scholes formula, delta computation, use.

Références :

• Hull, Options, futures, and other derivative securities, Prentice-Hall (2018: 10th ed).
• Baxter, M. and Rennie, A., Cambridge University Press, 1996.
• Kwok, Y.K., Mathematical models of financial derivatives, Springer, 2nd edition, 2008 (3 first chapters). 
• Jacod, J., Protter, P. (2000) Probability Essentials. Springer.

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Objectifs: Martingales and Markov chains in discrete time

Prerequisite: Probability with measure: σ-fields, measure space, measurable maps. Non-negative measures, integration of real valued functions. Convergence of sequences of real valued maps. Monotone convergence, Fatou lemma, dominated convergence (Lebesgue). Lp spaces. Probability measure. Random variables. Expectations of r.v. Independence of sub-σ-fields, independence of random variables.

Contenu du cours:

1. Conditional expectation, definition, properties
2. Discrete time processes, filtration, stopping time, Sigma-field of events determined prior to a stopping time
3. Discrete time Martingales, stopped martingales, optional sampling  theorem, maximal inequalities, convergence of martingales, regular martingales
4. Markov chains with countable states, conditional independence, Markov property, Markov sequences, transition matrix. Markov chains, communication classes, recurrence and transience, positive states, null states, invariant measures, ergodic properties
   
   

References

1. Jacques Neveu: Bases Mathématiques de la théorie des probabilités 
2. Jacques Neveu: Martingales en temps discret
3. Lacroix, P. Priouret, Cours: J. Lacroix, Probabilités approfondies, Université Pierre et Marie Curie, Master de Mathématiques, 2005-2006
4. Jean Jacod, Chaînes de Markov, Processus de Poisson et Applications, Université Pierre et Marie Curie, DEA de Probabilités et Applications, 2003-2004

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Objectifs: 

Ce cours à pour but d’étudier les observations dépendantes de leur passé. D’abord dans un cadre discret, pour dans un cadre continu.

Des applications pratiques se feront avec le logiciel R.

 Contenu du cours:

1. Introduction aux chaînes de Markov à espace d’états fini.
2. Présentation des séries temporelles à observations réelles.
3. Equations récurrentes linéaires.
4. Modèles ARMA.
5. Analyse spectrale.
6. Modélisation et prévision d’un processus ARMA
7. Modèle SARIMA.

Références:

-P. Brockwell, R. Davis. Time series: Theory and methods. Springer 1991.

-A.W. van der Vaart, Times series, Universiteit Leiden :
https://staff.fnwi.uva.nl/p.j.c.spreij/onderwijs/master/aadtimeseries2010.pdf

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Objectifs: 

- L’objectif du cours est d’introduire les fondements et principales questions et approches qui interviennent de façon incontournable dans tous les cours ultérieurs du M2 MMMEF, M2MO ou du M2 TIDE où l’Apprentissage Statistique (machine learning), la Data Science et l'intelligence artificielle apparaissent en bonne place.

- Les séances alterneront entre cours magistraux et séances de travaux dirigés selon l’avancement et en fonction des besoins.

-Les supports de cours (slides) seront en anglais. Cette langue est en effet, qu'on le veuille ou non, un outil indispensable pour acquérir et transmettre des savoirs/informations dans le monde professionnel. Sa maîtrise (au moins pour le vocabulaire technique) est donc devenue indispensable à quiconque envisage une carrière dans le domaine de la Data Science ou de l'Intelligence Artificielle. 

Prérequis:   

        -avoir suivi des cours en théorie des probabilités

        -avoir suivi des cours en algèbre linéaire

Contenu du cours:

1. Linear regression:
   rappels d’algèbre linéaire, décomposition SVD, description du modèle,  estimation des paramètres par minimisation du risque empirique/maximisation de la vraisemblance, l’hypothèse gaussienne.
2. Model selection:
   Sur la base du modèle de régression linéaire, on envisage plusieurs modèles candidats.
   On introduit l’idée de quantification de la performance et justifie l’utilisation de critères pénalisés de type AIC. La procédure de validation-croisée sera également détaillée.
3. Classification:
   Différents types de modèles seront envisagés tels que la régression logistique,     l’analyse linéaire discriminante, le classifieur des k plus proches voisins.
4. Clustering:
   Nous envisagerons différentes stratégies pour définir des mesures de similarité et étudierons deux principales approches pour le clustering : les K -means et le clustering hiérarchique ascendant.
5. Data Visualization:
   Afin de pouvoir visualiser les résultats de l’analyse, nous envisagerons deux principales techniques de réduction de dimension telles que l’analyse en composantes principales et l’analyse canonique des corrélations. La question de l’estimation de densité par estimateurs histogramme ou à noyau sera détaillée.

Références: 

-Hastie, Tibshirani, Friedman. The elements of statistical learning: Data Mining, Inference and Prediction. Springer series in Statistics.

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Objectifs: le but de cet enseignement est de fournir les outils pour l’étude des phénomènes qui évoluent au cours du temps, de manière continue et déterministe (non aléatoire). L’outil de base est l’étude des équations différentielles. Ce cours vise non seulement à compléter la formation de L3 MIASHS de Paris 1 en faisant l’étude de ces notions habituellement faites en Licence et non vues à Paris 1 (théorème de Cauchy-Lipschitz, méthodes de résolution classiques), puis à donner des techniques qualitatives d’études, qui sont donc plus spécialisées. Une initiation aux techniques qualitatives est d’autant plus nécessaire que la plupart des équations n’admettent pas de solution calculable explicitement. Ce cours est un prérequis pour l’étude de tous les phénomènes qui évoluent au cours du temps (dynamique économique), et plus généralement les équations différentielles interviennent dans de nombreux champs d’application des mathématiques. 

Contenu du cours: nous étudierons les équations différentielles : notion de solution approchée, méthode d’Euler (explicite), théorème d’existence et d’unicité des solutions (Peano et Cauchy-Lipschitz), étude dans le cas linéaire, quelques techniques de résolution (équations linéaires, séparation des variables). Initiation aux techniques qualitatives (théorème des bouts, méthodes de barrière). Nous étudierons ensuite le cas particulier des équations autonomes (qui ne dépendent pas du temps)

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Objectifs: Provide the basic concepts of game theory and acquire the methods to  model and solve rigorously strategic situations. The course stresses the mathematics of the models. Every concept is illustrated by exercises.

 Contenu du cours:

1. Strategic games, domination, dominant strategies, sophisticated equilibria, Pareto solutions
2. Two-Player Zero-sum games: guaranteeing and defending, maxmin, minmax, value, prudent strategies, optimal strategies, saddle points
3. Nash equilibrium, Best reply correspondence, fixed point, existence
4. Extensive form games, Strategic associated games and subgames, 
5. sequential rationality, backward induction, subgame perfect equilibrium, relation to sophisticated equilibrium
6. Mixed strategies, mixed extension of a game, characterisation of Nash equilibria, calculations of Nash equilibria.
   
   

Références: books by:
-Moulin,
-Osborne and Rubinstein,
-Myerson,

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Objectifs: 

De nombreux problèmes concrets requièrent des solutions à valeurs entières (par exemple problèmes de transport, problèmes d'affectation, problèmes d'optimisation où l'on doit déterminer un nombre d'individus, un nombre d'avions,...). Pour de tels problèmes on ne peut pas utiliser les méthodes classiques de la programmation linéaire. On a besoin de méthodes spécifiques aux PLNE (programmes linéaires en nombres entiers).

On commencera par étudier des exemples de modélisation sous la forme de  PLNE. Nous verrons que la modélisation de certaines contraintes peut aussi nécessiter l'introduction de variables entières. Nous verrons ensuite les principales méthodes de résolution de ces problèmes.

 Contenu du cours:

1. Modélisation de problèmes d’optimisation en nombres entiers
2. Méthodes par séparation et évaluation
3. Méthodes par programmation dynamique
4. Méthode des coupes de Gomory

Références:

Sakarovitch, Optimisation combinatoire : méthodes mathématiques et algorithmiques

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Objectifs : Option pricing in discrete and continuous time, with martingales use and first steps of stochastic calculus.

Contenu du cours :

Chapter I. Preliminaries
   1. Derivative products, description and use: Forward/Future contracts, Options
   2. Rates and discounting
   3. Arbitrage methods

Chapter II. Forward contracts pricing (reminder, in tutorial)

Chapter III. Mathematical tools
   1. Conditional expectation, martingale.

Chapter IV. Option pricing in discrete time
   1. N periods binomial model (Cox-Ross-Rubinstein); self-financing strategies,
   2. risk-neutral probability, martingale property of the discounted price process,
   3. option pricing, delta hedging.

Chapter V. Option pricing in continuous time: Black-Scholes model
   1. Brownian motion and Ito processes.
   2. Quadratic variation of the Brownian motion,
   3. Ito integral for a simple process,
   4. Extension to the computation of ∫B_tdB_t, 
   5. Ito lemma (heuristic proof).
   6. Black-Scholes model
   7. Partial differential equation approach, hedging from that equation.
   8. Probabilistic approach for European options,
   9. Girsanov theorem (particular case),
 10. Black Scholes formula, delta computation, use.

Références :

• Hull, Options, futures, and other derivative securities, Prentice-Hall (2018: 10th ed).
• Baxter, M. and Rennie, A., Cambridge University Press, 1996.
• Kwok, Y.K., Mathematical models of financial derivatives, Springer, 2nd edition, 2008 (3 first chapters). 
• Jacod, J., Protter, P. (2000) Probability Essentials. Springer.

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Objectifs: Martingales and Markov chains in discrete time

Prerequisite: Probability with measure: σ-fields, measure space, measurable maps. Non-negative measures, integration of real valued functions. Convergence of sequences of real valued maps. Monotone convergence, Fatou lemma, dominated convergence (Lebesgue). Lp spaces. Probability measure. Random variables. Expectations of r.v. Independence of sub-σ-fields, independence of random variables.

Contenu du cours:

1. Conditional expectation, definition, properties
2. Discrete time processes, filtration, stopping time, Sigma-field of events determined prior to a stopping time
3. Discrete time Martingales, stopped martingales, optional sampling  theorem, maximal inequalities, convergence of martingales, regular martingales
4. Markov chains with countable states, conditional independence, Markov property, Markov sequences, transition matrix. Markov chains, communication classes, recurrence and transience, positive states, null states, invariant measures, ergodic properties
   
   

References

1. Jacques Neveu: Bases Mathématiques de la théorie des probabilités 
2. Jacques Neveu: Martingales en temps discret
3. Lacroix, P. Priouret, Cours: J. Lacroix, Probabilités approfondies, Université Pierre et Marie Curie, Master de Mathématiques, 2005-2006
4. Jean Jacod, Chaînes de Markov, Processus de Poisson et Applications, Université Pierre et Marie Curie, DEA de Probabilités et Applications, 2003-2004

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Objectifs: 

Ce cours à pour but d’étudier les observations dépendantes de leur passé. D’abord dans un cadre discret, pour dans un cadre continu.

Des applications pratiques se feront avec le logiciel R.

 Contenu du cours:

1. Introduction aux chaînes de Markov à espace d’états fini.
2. Présentation des séries temporelles à observations réelles.
3. Equations récurrentes linéaires.
4. Modèles ARMA.
5. Analyse spectrale.
6. Modélisation et prévision d’un processus ARMA
7. Modèle SARIMA.

Références:

-P. Brockwell, R. Davis. Time series: Theory and methods. Springer 1991.

-A.W. van der Vaart, Times series, Universiteit Leiden :
https://staff.fnwi.uva.nl/p.j.c.spreij/onderwijs/master/aadtimeseries2010.pdf

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Objectifs: 

- L’objectif du cours est d’introduire les fondements et principales questions et approches qui interviennent de façon incontournable dans tous les cours ultérieurs du M2 MMMEF, M2MO ou du M2 TIDE où l’Apprentissage Statistique (machine learning), la Data Science et l'intelligence artificielle apparaissent en bonne place.

- Les séances alterneront entre cours magistraux et séances de travaux dirigés selon l’avancement et en fonction des besoins.

-Les supports de cours (slides) seront en anglais. Cette langue est en effet, qu'on le veuille ou non, un outil indispensable pour acquérir et transmettre des savoirs/informations dans le monde professionnel. Sa maîtrise (au moins pour le vocabulaire technique) est donc devenue indispensable à quiconque envisage une carrière dans le domaine de la Data Science ou de l'Intelligence Artificielle. 

Prérequis:   

        -avoir suivi des cours en théorie des probabilités

        -avoir suivi des cours en algèbre linéaire

Contenu du cours:

1. Linear regression:
   rappels d’algèbre linéaire, décomposition SVD, description du modèle,  estimation des paramètres par minimisation du risque empirique/maximisation de la vraisemblance, l’hypothèse gaussienne.
2. Model selection:
   Sur la base du modèle de régression linéaire, on envisage plusieurs modèles candidats.
   On introduit l’idée de quantification de la performance et justifie l’utilisation de critères pénalisés de type AIC. La procédure de validation-croisée sera également détaillée.
3. Classification:
   Différents types de modèles seront envisagés tels que la régression logistique,     l’analyse linéaire discriminante, le classifieur des k plus proches voisins.
4. Clustering:
   Nous envisagerons différentes stratégies pour définir des mesures de similarité et étudierons deux principales approches pour le clustering : les K -means et le clustering hiérarchique ascendant.
5. Data Visualization:
   Afin de pouvoir visualiser les résultats de l’analyse, nous envisagerons deux principales techniques de réduction de dimension telles que l’analyse en composantes principales et l’analyse canonique des corrélations. La question de l’estimation de densité par estimateurs histogramme ou à noyau sera détaillée.

Références: 

-Hastie, Tibshirani, Friedman. The elements of statistical learning: Data Mining, Inference and Prediction. Springer series in Statistics.

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Objectifs: le but de cet enseignement est de fournir les outils pour l’étude des phénomènes qui évoluent au cours du temps, de manière continue et déterministe (non aléatoire). L’outil de base est l’étude des équations différentielles. Ce cours vise non seulement à compléter la formation de L3 MIASHS de Paris 1 en faisant l’étude de ces notions habituellement faites en Licence et non vues à Paris 1 (théorème de Cauchy-Lipschitz, méthodes de résolution classiques), puis à donner des techniques qualitatives d’études, qui sont donc plus spécialisées. Une initiation aux techniques qualitatives est d’autant plus nécessaire que la plupart des équations n’admettent pas de solution calculable explicitement. Ce cours est un prérequis pour l’étude de tous les phénomènes qui évoluent au cours du temps (dynamique économique), et plus généralement les équations différentielles interviennent dans de nombreux champs d’application des mathématiques. 

Contenu du cours: nous étudierons les équations différentielles : notion de solution approchée, méthode d’Euler (explicite), théorème d’existence et d’unicité des solutions (Peano et Cauchy-Lipschitz), étude dans le cas linéaire, quelques techniques de résolution (équations linéaires, séparation des variables). Initiation aux techniques qualitatives (théorème des bouts, méthodes de barrière). Nous étudierons ensuite le cas particulier des équations autonomes (qui ne dépendent pas du temps)

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Objectifs: Provide the basic concepts of game theory and acquire the methods to  model and solve rigorously strategic situations. The course stresses the mathematics of the models. Every concept is illustrated by exercises.

 Contenu du cours:

1. Strategic games, domination, dominant strategies, sophisticated equilibria, Pareto solutions
2. Two-Player Zero-sum games: guaranteeing and defending, maxmin, minmax, value, prudent strategies, optimal strategies, saddle points
3. Nash equilibrium, Best reply correspondence, fixed point, existence
4. Extensive form games, Strategic associated games and subgames, 
5. sequential rationality, backward induction, subgame perfect equilibrium, relation to sophisticated equilibrium
6. Mixed strategies, mixed extension of a game, characterisation of Nash equilibria, calculations of Nash equilibria.
   
   

Références: books by:
-Moulin,
-Osborne and Rubinstein,
-Myerson,

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Objectifs: 

De nombreux problèmes concrets requièrent des solutions à valeurs entières (par exemple problèmes de transport, problèmes d'affectation, problèmes d'optimisation où l'on doit déterminer un nombre d'individus, un nombre d'avions,...). Pour de tels problèmes on ne peut pas utiliser les méthodes classiques de la programmation linéaire. On a besoin de méthodes spécifiques aux PLNE (programmes linéaires en nombres entiers).

On commencera par étudier des exemples de modélisation sous la forme de  PLNE. Nous verrons que la modélisation de certaines contraintes peut aussi nécessiter l'introduction de variables entières. Nous verrons ensuite les principales méthodes de résolution de ces problèmes.

 Contenu du cours:

1. Modélisation de problèmes d’optimisation en nombres entiers
2. Méthodes par séparation et évaluation
3. Méthodes par programmation dynamique
4. Méthode des coupes de Gomory

Références:

Sakarovitch, Optimisation combinatoire : méthodes mathématiques et algorithmiques

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Objectifs : Option pricing in discrete and continuous time, with martingales use and first steps of stochastic calculus.

Contenu du cours :

Chapter I. Preliminaries
   1. Derivative products, description and use: Forward/Future contracts, Options
   2. Rates and discounting
   3. Arbitrage methods

Chapter II. Forward contracts pricing (reminder, in tutorial)

Chapter III. Mathematical tools
   1. Conditional expectation, martingale.

Chapter IV. Option pricing in discrete time
   1. N periods binomial model (Cox-Ross-Rubinstein); self-financing strategies,
   2. risk-neutral probability, martingale property of the discounted price process,
   3. option pricing, delta hedging.

Chapter V. Option pricing in continuous time: Black-Scholes model
   1. Brownian motion and Ito processes.
   2. Quadratic variation of the Brownian motion,
   3. Ito integral for a simple process,
   4. Extension to the computation of ∫B_tdB_t, 
   5. Ito lemma (heuristic proof).
   6. Black-Scholes model
   7. Partial differential equation approach, hedging from that equation.
   8. Probabilistic approach for European options,
   9. Girsanov theorem (particular case),
 10. Black Scholes formula, delta computation, use.

Références :

• Hull, Options, futures, and other derivative securities, Prentice-Hall (2018: 10th ed).
• Baxter, M. and Rennie, A., Cambridge University Press, 1996.
• Kwok, Y.K., Mathematical models of financial derivatives, Springer, 2nd edition, 2008 (3 first chapters). 
• Jacod, J., Protter, P. (2000) Probability Essentials. Springer.

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Objectifs: Martingales and Markov chains in discrete time

Prerequisite: Probability with measure: σ-fields, measure space, measurable maps. Non-negative measures, integration of real valued functions. Convergence of sequences of real valued maps. Monotone convergence, Fatou lemma, dominated convergence (Lebesgue). Lp spaces. Probability measure. Random variables. Expectations of r.v. Independence of sub-σ-fields, independence of random variables.

Contenu du cours:

1. Conditional expectation, definition, properties
2. Discrete time processes, filtration, stopping time, Sigma-field of events determined prior to a stopping time
3. Discrete time Martingales, stopped martingales, optional sampling  theorem, maximal inequalities, convergence of martingales, regular martingales
4. Markov chains with countable states, conditional independence, Markov property, Markov sequences, transition matrix. Markov chains, communication classes, recurrence and transience, positive states, null states, invariant measures, ergodic properties
   
   

References

1. Jacques Neveu: Bases Mathématiques de la théorie des probabilités 
2. Jacques Neveu: Martingales en temps discret
3. Lacroix, P. Priouret, Cours: J. Lacroix, Probabilités approfondies, Université Pierre et Marie Curie, Master de Mathématiques, 2005-2006
4. Jean Jacod, Chaînes de Markov, Processus de Poisson et Applications, Université Pierre et Marie Curie, DEA de Probabilités et Applications, 2003-2004

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Objectifs: 

Ce cours à pour but d’étudier les observations dépendantes de leur passé. D’abord dans un cadre discret, pour dans un cadre continu.

Des applications pratiques se feront avec le logiciel R.

 Contenu du cours:

1. Introduction aux chaînes de Markov à espace d’états fini.
2. Présentation des séries temporelles à observations réelles.
3. Equations récurrentes linéaires.
4. Modèles ARMA.
5. Analyse spectrale.
6. Modélisation et prévision d’un processus ARMA
7. Modèle SARIMA.

Références:

-P. Brockwell, R. Davis. Time series: Theory and methods. Springer 1991.

-A.W. van der Vaart, Times series, Universiteit Leiden :
https://staff.fnwi.uva.nl/p.j.c.spreij/onderwijs/master/aadtimeseries2010.pdf

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Objectifs: 

- L’objectif du cours est d’introduire les fondements et principales questions et approches qui interviennent de façon incontournable dans tous les cours ultérieurs du M2 MMMEF, M2MO ou du M2 TIDE où l’Apprentissage Statistique (machine learning), la Data Science et l'intelligence artificielle apparaissent en bonne place.

- Les séances alterneront entre cours magistraux et séances de travaux dirigés selon l’avancement et en fonction des besoins.

-Les supports de cours (slides) seront en anglais. Cette langue est en effet, qu'on le veuille ou non, un outil indispensable pour acquérir et transmettre des savoirs/informations dans le monde professionnel. Sa maîtrise (au moins pour le vocabulaire technique) est donc devenue indispensable à quiconque envisage une carrière dans le domaine de la Data Science ou de l'Intelligence Artificielle. 

Prérequis:   

        -avoir suivi des cours en théorie des probabilités

        -avoir suivi des cours en algèbre linéaire

Contenu du cours:

1. Linear regression:
   rappels d’algèbre linéaire, décomposition SVD, description du modèle,  estimation des paramètres par minimisation du risque empirique/maximisation de la vraisemblance, l’hypothèse gaussienne.
2. Model selection:
   Sur la base du modèle de régression linéaire, on envisage plusieurs modèles candidats.
   On introduit l’idée de quantification de la performance et justifie l’utilisation de critères pénalisés de type AIC. La procédure de validation-croisée sera également détaillée.
3. Classification:
   Différents types de modèles seront envisagés tels que la régression logistique,     l’analyse linéaire discriminante, le classifieur des k plus proches voisins.
4. Clustering:
   Nous envisagerons différentes stratégies pour définir des mesures de similarité et étudierons deux principales approches pour le clustering : les K -means et le clustering hiérarchique ascendant.
5. Data Visualization:
   Afin de pouvoir visualiser les résultats de l’analyse, nous envisagerons deux principales techniques de réduction de dimension telles que l’analyse en composantes principales et l’analyse canonique des corrélations. La question de l’estimation de densité par estimateurs histogramme ou à noyau sera détaillée.

Références: 

-Hastie, Tibshirani, Friedman. The elements of statistical learning: Data Mining, Inference and Prediction. Springer series in Statistics.

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Objectifs: le but de cet enseignement est de fournir les outils pour l’étude des phénomènes qui évoluent au cours du temps, de manière continue et déterministe (non aléatoire). L’outil de base est l’étude des équations différentielles. Ce cours vise non seulement à compléter la formation de L3 MIASHS de Paris 1 en faisant l’étude de ces notions habituellement faites en Licence et non vues à Paris 1 (théorème de Cauchy-Lipschitz, méthodes de résolution classiques), puis à donner des techniques qualitatives d’études, qui sont donc plus spécialisées. Une initiation aux techniques qualitatives est d’autant plus nécessaire que la plupart des équations n’admettent pas de solution calculable explicitement. Ce cours est un prérequis pour l’étude de tous les phénomènes qui évoluent au cours du temps (dynamique économique), et plus généralement les équations différentielles interviennent dans de nombreux champs d’application des mathématiques. 

Contenu du cours: nous étudierons les équations différentielles : notion de solution approchée, méthode d’Euler (explicite), théorème d’existence et d’unicité des solutions (Peano et Cauchy-Lipschitz), étude dans le cas linéaire, quelques techniques de résolution (équations linéaires, séparation des variables). Initiation aux techniques qualitatives (théorème des bouts, méthodes de barrière). Nous étudierons ensuite le cas particulier des équations autonomes (qui ne dépendent pas du temps)

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Objectifs: 

De nombreux problèmes concrets requièrent des solutions à valeurs entières (par exemple problèmes de transport, problèmes d'affectation, problèmes d'optimisation où l'on doit déterminer un nombre d'individus, un nombre d'avions,...). Pour de tels problèmes on ne peut pas utiliser les méthodes classiques de la programmation linéaire. On a besoin de méthodes spécifiques aux PLNE (programmes linéaires en nombres entiers).

On commencera par étudier des exemples de modélisation sous la forme de  PLNE. Nous verrons que la modélisation de certaines contraintes peut aussi nécessiter l'introduction de variables entières. Nous verrons ensuite les principales méthodes de résolution de ces problèmes.

 Contenu du cours:

1. Modélisation de problèmes d’optimisation en nombres entiers
2. Méthodes par séparation et évaluation
3. Méthodes par programmation dynamique
4. Méthode des coupes de Gomory

Références:

Sakarovitch, Optimisation combinatoire : méthodes mathématiques et algorithmiques

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Objectifs : Option pricing in discrete and continuous time, with martingales use and first steps of stochastic calculus.

Contenu du cours :

Chapter I. Preliminaries
   1. Derivative products, description and use: Forward/Future contracts, Options
   2. Rates and discounting
   3. Arbitrage methods

Chapter II. Forward contracts pricing (reminder, in tutorial)

Chapter III. Mathematical tools
   1. Conditional expectation, martingale.

Chapter IV. Option pricing in discrete time
   1. N periods binomial model (Cox-Ross-Rubinstein); self-financing strategies,
   2. risk-neutral probability, martingale property of the discounted price process,
   3. option pricing, delta hedging.

Chapter V. Option pricing in continuous time: Black-Scholes model
   1. Brownian motion and Ito processes.
   2. Quadratic variation of the Brownian motion,
   3. Ito integral for a simple process,
   4. Extension to the computation of ∫B_tdB_t, 
   5. Ito lemma (heuristic proof).
   6. Black-Scholes model
   7. Partial differential equation approach, hedging from that equation.
   8. Probabilistic approach for European options,
   9. Girsanov theorem (particular case),
 10. Black Scholes formula, delta computation, use.

Références :

• Hull, Options, futures, and other derivative securities, Prentice-Hall (2018: 10th ed).
• Baxter, M. and Rennie, A., Cambridge University Press, 1996.
• Kwok, Y.K., Mathematical models of financial derivatives, Springer, 2nd edition, 2008 (3 first chapters). 
• Jacod, J., Protter, P. (2000) Probability Essentials. Springer.

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