Probabilités 1

Objectifs:

Ce cours présente les notions fondamentales associées au calcul des probabilités. Il met notamment en œuvre les concepts et les outils étudiés en théorie de la mesure. Il a pour objectif de fournir le bagage théorique nécessaire pour aborder en Master 2 les problématiques de modélisation aléatoire.

 Contenu du cours:

• Espace de probabilité et vecteur aléatoire : tribu, mesure, notion de mesurabilité, rappels d’intégration, théorèmes de convergence 

• Loi de probabilité : atome, loi à densité (principe de domination), lois marginales, notion d’indépendance, noyau de transition, fonction de répartition
• Espérance mathématique : théorème de transfert, inégalités usuelles, notion d’indépendance.
• Espaces Lp
• Espérance conditionnelle sur une sous-tribu : présentation théorique, propriétés, notion d’indépendance, applications
• Fonctions caractéristiques :  théorème d’injectivité et formule d’inversion de Fourier, notion d’indépendance.
• Vecteurs Gaussiens : caractérisations, notion d’indépendance, espérance conditionnelle.
• Convergences : presque sûre, stochastique, au sens Lp
• Convergence en Loi : caractérisations (théorème porte-manteau, Scheffé, théorème de Lévy)
• Théorèmes Limites : Lois de grands nombres, théorème central limite.