UE1 Mathématiques et Informatique

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Objectifs: 

- L’objectif du cours est d’introduire les fondements et principales questions et approches qui interviennent de façon incontournable dans tous les cours ultérieurs du M2 MMMEF, M2MO ou du M2 TIDE où l’Apprentissage Statistique (machine learning), la Data Science et l'intelligence artificielle apparaissent en bonne place.

- Les séances alterneront entre cours magistraux et séances de travaux dirigés selon l’avancement et en fonction des besoins.

-Les supports de cours (slides) seront en anglais. Cette langue est en effet, qu'on le veuille ou non, un outil indispensable pour acquérir et transmettre des savoirs/informations dans le monde professionnel. Sa maîtrise (au moins pour le vocabulaire technique) est donc devenue indispensable à quiconque envisage une carrière dans le domaine de la Data Science ou de l'Intelligence Artificielle. 

Prérequis:   

        -avoir suivi des cours en théorie des probabilités

        -avoir suivi des cours en algèbre linéaire

Contenu du cours:

1. Linear regression:
   rappels d’algèbre linéaire, décomposition SVD, description du modèle,  estimation des paramètres par minimisation du risque empirique/maximisation de la vraisemblance, l’hypothèse gaussienne.
2. Model selection:
   Sur la base du modèle de régression linéaire, on envisage plusieurs modèles candidats.
   On introduit l’idée de quantification de la performance et justifie l’utilisation de critères pénalisés de type AIC. La procédure de validation-croisée sera également détaillée.
3. Classification:
   Différents types de modèles seront envisagés tels que la régression logistique,     l’analyse linéaire discriminante, le classifieur des k plus proches voisins.
4. Clustering:
   Nous envisagerons différentes stratégies pour définir des mesures de similarité et étudierons deux principales approches pour le clustering : les K -means et le clustering hiérarchique ascendant.
5. Data Visualization:
   Afin de pouvoir visualiser les résultats de l’analyse, nous envisagerons deux principales techniques de réduction de dimension telles que l’analyse en composantes principales et l’analyse canonique des corrélations. La question de l’estimation de densité par estimateurs histogramme ou à noyau sera détaillée.

Références: 

-Hastie, Tibshirani, Friedman. The elements of statistical learning: Data Mining, Inference and Prediction. Springer series in Statistics.

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Objectifs: le but de cet enseignement est de fournir les outils pour l’étude des phénomènes qui évoluent au cours du temps, de manière continue et déterministe (non aléatoire). L’outil de base est l’étude des équations différentielles. Ce cours vise non seulement à compléter la formation de L3 MIASHS de Paris 1 en faisant l’étude de ces notions habituellement faites en Licence et non vues à Paris 1 (théorème de Cauchy-Lipschitz, méthodes de résolution classiques), puis à donner des techniques qualitatives d’études, qui sont donc plus spécialisées. Une initiation aux techniques qualitatives est d’autant plus nécessaire que la plupart des équations n’admettent pas de solution calculable explicitement. Ce cours est un prérequis pour l’étude de tous les phénomènes qui évoluent au cours du temps (dynamique économique), et plus généralement les équations différentielles interviennent dans de nombreux champs d’application des mathématiques. 

Contenu du cours: nous étudierons les équations différentielles : notion de solution approchée, méthode d’Euler (explicite), théorème d’existence et d’unicité des solutions (Peano et Cauchy-Lipschitz), étude dans le cas linéaire, quelques techniques de résolution (équations linéaires, séparation des variables). Initiation aux techniques qualitatives (théorème des bouts, méthodes de barrière). Nous étudierons ensuite le cas particulier des équations autonomes (qui ne dépendent pas du temps)

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Objectifs: Provide the basic concepts of game theory and acquire the methods to  model and solve rigorously strategic situations. The course stresses the mathematics of the models. Every concept is illustrated by exercises.

 Contenu du cours:

1. Strategic games, domination, dominant strategies, sophisticated equilibria, Pareto solutions
2. Two-Player Zero-sum games: guaranteeing and defending, maxmin, minmax, value, prudent strategies, optimal strategies, saddle points
3. Nash equilibrium, Best reply correspondence, fixed point, existence
4. Extensive form games, Strategic associated games and subgames, 
5. sequential rationality, backward induction, subgame perfect equilibrium, relation to sophisticated equilibrium
6. Mixed strategies, mixed extension of a game, characterisation of Nash equilibria, calculations of Nash equilibria.
   
   

Références: books by:
-Moulin,
-Osborne and Rubinstein,
-Myerson,

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Objectifs: 

De nombreux problèmes concrets requièrent des solutions à valeurs entières (par exemple problèmes de transport, problèmes d'affectation, problèmes d'optimisation où l'on doit déterminer un nombre d'individus, un nombre d'avions,...). Pour de tels problèmes on ne peut pas utiliser les méthodes classiques de la programmation linéaire. On a besoin de méthodes spécifiques aux PLNE (programmes linéaires en nombres entiers).

On commencera par étudier des exemples de modélisation sous la forme de  PLNE. Nous verrons que la modélisation de certaines contraintes peut aussi nécessiter l'introduction de variables entières. Nous verrons ensuite les principales méthodes de résolution de ces problèmes.

 Contenu du cours:

1. Modélisation de problèmes d’optimisation en nombres entiers
2. Méthodes par séparation et évaluation
3. Méthodes par programmation dynamique
4. Méthode des coupes de Gomory

Références:

Sakarovitch, Optimisation combinatoire : méthodes mathématiques et algorithmiques

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Objectifs : Option pricing in discrete and continuous time, with martingales use and first steps of stochastic calculus.

Contenu du cours :

Chapter I. Preliminaries
   1. Derivative products, description and use: Forward/Future contracts, Options
   2. Rates and discounting
   3. Arbitrage methods

Chapter II. Forward contracts pricing (reminder, in tutorial)

Chapter III. Mathematical tools
   1. Conditional expectation, martingale.

Chapter IV. Option pricing in discrete time
   1. N periods binomial model (Cox-Ross-Rubinstein); self-financing strategies,
   2. risk-neutral probability, martingale property of the discounted price process,
   3. option pricing, delta hedging.

Chapter V. Option pricing in continuous time: Black-Scholes model
   1. Brownian motion and Ito processes.
   2. Quadratic variation of the Brownian motion,
   3. Ito integral for a simple process,
   4. Extension to the computation of ∫B_tdB_t, 
   5. Ito lemma (heuristic proof).
   6. Black-Scholes model
   7. Partial differential equation approach, hedging from that equation.
   8. Probabilistic approach for European options,
   9. Girsanov theorem (particular case),
 10. Black Scholes formula, delta computation, use.

Références :

• Hull, Options, futures, and other derivative securities, Prentice-Hall (2018: 10th ed).
• Baxter, M. and Rennie, A., Cambridge University Press, 1996.
• Kwok, Y.K., Mathematical models of financial derivatives, Springer, 2nd edition, 2008 (3 first chapters). 
• Jacod, J., Protter, P. (2000) Probability Essentials. Springer.

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Objectifs: Martingales and Markov chains in discrete time

Prerequisite: Probability with measure: σ-fields, measure space, measurable maps. Non-negative measures, integration of real valued functions. Convergence of sequences of real valued maps. Monotone convergence, Fatou lemma, dominated convergence (Lebesgue). Lp spaces. Probability measure. Random variables. Expectations of r.v. Independence of sub-σ-fields, independence of random variables.

Contenu du cours:

1. Conditional expectation, definition, properties
2. Discrete time processes, filtration, stopping time, Sigma-field of events determined prior to a stopping time
3. Discrete time Martingales, stopped martingales, optional sampling  theorem, maximal inequalities, convergence of martingales, regular martingales
4. Markov chains with countable states, conditional independence, Markov property, Markov sequences, transition matrix. Markov chains, communication classes, recurrence and transience, positive states, null states, invariant measures, ergodic properties
   
   

References

1. Jacques Neveu: Bases Mathématiques de la théorie des probabilités 
2. Jacques Neveu: Martingales en temps discret
3. Lacroix, P. Priouret, Cours: J. Lacroix, Probabilités approfondies, Université Pierre et Marie Curie, Master de Mathématiques, 2005-2006
4. Jean Jacod, Chaînes de Markov, Processus de Poisson et Applications, Université Pierre et Marie Curie, DEA de Probabilités et Applications, 2003-2004

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Objectifs: 

Ce cours à pour but d’étudier les observations dépendantes de leur passé. D’abord dans un cadre discret, pour dans un cadre continu.

Des applications pratiques se feront avec le logiciel R.

 Contenu du cours:

1. Introduction aux chaînes de Markov à espace d’états fini.
2. Présentation des séries temporelles à observations réelles.
3. Equations récurrentes linéaires.
4. Modèles ARMA.
5. Analyse spectrale.
6. Modélisation et prévision d’un processus ARMA
7. Modèle SARIMA.

Références:

-P. Brockwell, R. Davis. Time series: Theory and methods. Springer 1991.

-A.W. van der Vaart, Times series, Universiteit Leiden :
https://staff.fnwi.uva.nl/p.j.c.spreij/onderwijs/master/aadtimeseries2010.pdf

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