Master parcours Modélisation aléatoire

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Objectifs: L’objectif est de connaître certaines méthodes spécifiques permettant étudier un problème d’optimisation dynamique à horizon fini ou infini, principalement 1) L’approche  par conditions du premier ordre 2) l’ approche topologique pour l’existence d’uns solution ) 3) L’approche``à la Bellman.”  

Contenu du cours:

1- Rappel d’optimisation, KKT. 

2- Problème d’optimisation dynamique en temps fini ou infini: variable d’état, d’action (exemples en macro).  

3- Cas horizon fini: équation d’Euler (condition du premier ordre), exemple de résolution. Principe de Backward induction permettant de calculer les solutions. 

4- Cas horizon infini: approche topologique (sur une classe d’exemples, comment on peut définir une bonne distance pour obtenir la compacité et l’existence d’une solution).

5- Cas horizon infini: approche à la Bellman. 

   a) Rappels sur les espaces de Banach. 

   b) Théorème de point-fixe de Banach. 

   c) Théorème de Blackwell. 

   d) Opérateur de Bellman. 

   e) La fonction valeur d’un problème d’optimisation à horizon infini est un point-fixe de l’opérateur de Bellman, et réciproquement (sous certaines conditions). 

   f) Applications et exemples. 

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Objectifs: 

Le cours décrit l’histoire de l’élaboration du cadre utilisé aujourd’hui pour décrire la dynamique de l’économie. Il insiste sur le rôle crucial joué par l’accumulation du capital pour rendre compte de la croissance exceptionnelle du produit par tête qu’ont connu les économies occidentales à partir du 19e siècle. Après avoir décrit le comportement d’accumulation du capital par les entreprises, il présente les modèles de croissance dans lesquels l’offre de capital obéit à une logique keynésienne, puis conclut le cours par une première intégration d’un comportement d’épargne optimal. Il n’y a pas de prérequis.

Contenu du cours:

1. Faits stylisés de la croissance économique
2. L’accumulation du capital
3. La décomposition de la croissance
4. La croissance en déséquilibre : l’approche de Harrod-Domar
5. Le modèle de Solow
6. Le modèle de cycle de vie

Références:

Blanchard, O. et D. Cohen, Macroéconomie, Pearson, 8e édition, 2020

Voir la page complète

Objectifs: 

Le cours suit Macroeconomics 1A et présente les deux principaux cadres d’analyse des modèles de croissance que l’on utilise aujourd’hui pour discuter l’impact dynamique de politiques économiques : le modèle de croissance optimal (Ramsey-Cass-Koopmans) et le modèle à générations imbriquées.

Contenu du cours:

1. Le sentier de consommation optimal : l’équation d’Euler
2. La dynamique optimale : Règle d’or modifiée
3. Les théorèmes de l’économie du bien-être
4. Générations imbriquées et inefficacité de l’équilibre

Références:

Gauthier, S., Macroéconomie, Economica, 2012.

Voir la page complète

Voir la page complète

Objectifs: 

Ce cours est un cours de microéconomie mathématique. Il porte sur les comportements rationnels et les prises de décisions des consommateurs et des producteurs. Il se concentre d’abord sur les résultats fondamentaux des théories de la demande Walrasienne, des préférences révélées et des décisions dans l'incertain. Ensuite, quant au producteur, l'objectif est d’analyser deux comportements classiques, c.-à-d. la maximisation du profit et la minimisation des coûts, et les liens entre les deux. Les méthodes mathématiques utilisées vont de la topologie, à l'analyse et l'optimisation sous contraintes.

Contenu du cours:

1. Préférences, maximisation des préférences sous contrainte budgétaire, demande Walrasienne.
2. Structures de choix, préférences révélées, axiome faible de la préférence révélée.
3. Théorie de l'utilité espérée, Théorème d'utilité de von Neumann-Morgenstern, paradoxes.
4. Ensemble de production, fonction de transformation, fonction de production, propriétés.
5. Maximisation du profit, offre du producteur.
6. Minimisation des coûts, demande du producteur.
7. Liens entre la maximisation du profit et la minimisation des coûts.

Références:

Mas-Colell, A., Whinston, M.D., Green, J., “Microeconomic Theory”, Oxford University Press, 1995.

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Objectifs : Option pricing in discrete and continuous time, with martingales use and first steps of stochastic calculus.

Contenu du cours :

Chapter I. Preliminaries
   1. Derivative products, description and use: Forward/Future contracts, Options
   2. Rates and discounting
   3. Arbitrage methods

Chapter II. Forward contracts pricing (reminder, in tutorial)

Chapter III. Mathematical tools
   1. Conditional expectation, martingale.

Chapter IV. Option pricing in discrete time
   1. N periods binomial model (Cox-Ross-Rubinstein); self-financing strategies,
   2. risk-neutral probability, martingale property of the discounted price process,
   3. option pricing, delta hedging.

Chapter V. Option pricing in continuous time: Black-Scholes model
   1. Brownian motion and Ito processes.
   2. Quadratic variation of the Brownian motion,
   3. Ito integral for a simple process,
   4. Extension to the computation of ∫B_tdB_t, 
   5. Ito lemma (heuristic proof).
   6. Black-Scholes model
   7. Partial differential equation approach, hedging from that equation.
   8. Probabilistic approach for European options,
   9. Girsanov theorem (particular case),
 10. Black Scholes formula, delta computation, use.

Références :

• Hull, Options, futures, and other derivative securities, Prentice-Hall (2018: 10th ed).
• Baxter, M. and Rennie, A., Cambridge University Press, 1996.
• Kwok, Y.K., Mathematical models of financial derivatives, Springer, 2nd edition, 2008 (3 first chapters). 
• Jacod, J., Protter, P. (2000) Probability Essentials. Springer.

Voir la page complète

Voir la page complète

Objectifs: Martingales and Markov chains in discrete time

Prerequisite: Probability with measure: σ-fields, measure space, measurable maps. Non-negative measures, integration of real valued functions. Convergence of sequences of real valued maps. Monotone convergence, Fatou lemma, dominated convergence (Lebesgue). Lp spaces. Probability measure. Random variables. Expectations of r.v. Independence of sub-σ-fields, independence of random variables.

Contenu du cours:

1. Conditional expectation, definition, properties
2. Discrete time processes, filtration, stopping time, Sigma-field of events determined prior to a stopping time
3. Discrete time Martingales, stopped martingales, optional sampling  theorem, maximal inequalities, convergence of martingales, regular martingales
4. Markov chains with countable states, conditional independence, Markov property, Markov sequences, transition matrix. Markov chains, communication classes, recurrence and transience, positive states, null states, invariant measures, ergodic properties
   
   

References

1. Jacques Neveu: Bases Mathématiques de la théorie des probabilités 
2. Jacques Neveu: Martingales en temps discret
3. Lacroix, P. Priouret, Cours: J. Lacroix, Probabilités approfondies, Université Pierre et Marie Curie, Master de Mathématiques, 2005-2006
4. Jean Jacod, Chaînes de Markov, Processus de Poisson et Applications, Université Pierre et Marie Curie, DEA de Probabilités et Applications, 2003-2004

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

L’objectif principal est 1) de savoir montrer l’existence d’un problème d’optimisation grâce à des conditions topologiques (continuité, compacité,...) 2) De savoir calculer les solutions dans certains cas, en utilisant des conditions du premier ordre (type KKT) et parfois second ordre (sous des hypothèses de type convexité/concavité). On formulera d’abord les conditions du premier ordre en utilisant le cône tangent, afin de comprendre la nature géométrique du problème, et on montrera KKT en calculant le cône tangent sous des hypothèses de type Slater ou qualification. Enfin, on commencera un peu la théorie de la dualité. 

 Contenu du cours:

1- Exemples (data science, micro, macro …). Préliminaires et rappels (topologie, géométrie, inf, sup, fonctions implicites,...) 

2- Existence d’un problème d’optimisation (cas d’une fonction s.c.s. ou s.c.i., et de contraintes compactes ou fermées avec condition de coercivité, cas de la dimension finie). On évoquera un peu le cas de la dimension infinie. 

3- Cône tangent, cône normal. 

4- CN du premier ordre (avec cône normal). 

5- CN du premier ordre, cas particulier: a) contraintes d’égalités (Lagrange), b) contraintes d’égalités et d’inégalités (KKT). Ce dernier théorème sera montré sous deux types de conditions: Slater ou Régularité+Qualification. 

6- Convexité, Concavité et CS du deuxième ordre. 

7- Dualité (cas non linéaire): point-selle, théorème de dualité. 

Voir la page complète

Objectifs: L’objectif est de connaître certaines méthodes spécifiques permettant étudier un problème d’optimisation dynamique à horizon fini ou infini, principalement 1) L’approche  par conditions du premier ordre 2) l’ approche topologique pour l’existence d’uns solution ) 3) L’approche``à la Bellman.”  

Contenu du cours:

1- Rappel d’optimisation, KKT. 

2- Problème d’optimisation dynamique en temps fini ou infini: variable d’état, d’action (exemples en macro).  

3- Cas horizon fini: équation d’Euler (condition du premier ordre), exemple de résolution. Principe de Backward induction permettant de calculer les solutions. 

4- Cas horizon infini: approche topologique (sur une classe d’exemples, comment on peut définir une bonne distance pour obtenir la compacité et l’existence d’une solution).

5- Cas horizon infini: approche à la Bellman. 

   a) Rappels sur les espaces de Banach. 

   b) Théorème de point-fixe de Banach. 

   c) Théorème de Blackwell. 

   d) Opérateur de Bellman. 

   e) La fonction valeur d’un problème d’optimisation à horizon infini est un point-fixe de l’opérateur de Bellman, et réciproquement (sous certaines conditions). 

   f) Applications et exemples. 

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Objectifs: 

Le cours décrit l’histoire de l’élaboration du cadre utilisé aujourd’hui pour décrire la dynamique de l’économie. Il insiste sur le rôle crucial joué par l’accumulation du capital pour rendre compte de la croissance exceptionnelle du produit par tête qu’ont connu les économies occidentales à partir du 19e siècle. Après avoir décrit le comportement d’accumulation du capital par les entreprises, il présente les modèles de croissance dans lesquels l’offre de capital obéit à une logique keynésienne, puis conclut le cours par une première intégration d’un comportement d’épargne optimal. Il n’y a pas de prérequis.

Contenu du cours:

1. Faits stylisés de la croissance économique
2. L’accumulation du capital
3. La décomposition de la croissance
4. La croissance en déséquilibre : l’approche de Harrod-Domar
5. Le modèle de Solow
6. Le modèle de cycle de vie

Références:

Blanchard, O. et D. Cohen, Macroéconomie, Pearson, 8e édition, 2020

Voir la page complète

Objectifs: 

Le cours suit Macroeconomics 1A et présente les deux principaux cadres d’analyse des modèles de croissance que l’on utilise aujourd’hui pour discuter l’impact dynamique de politiques économiques : le modèle de croissance optimal (Ramsey-Cass-Koopmans) et le modèle à générations imbriquées.

Contenu du cours:

1. Le sentier de consommation optimal : l’équation d’Euler
2. La dynamique optimale : Règle d’or modifiée
3. Les théorèmes de l’économie du bien-être
4. Générations imbriquées et inefficacité de l’équilibre

Références:

Gauthier, S., Macroéconomie, Economica, 2012.

Voir la page complète

Voir la page complète

Objectifs: 

Ce cours est un cours de microéconomie mathématique. Il porte sur les comportements rationnels et les prises de décisions des consommateurs et des producteurs. Il se concentre d’abord sur les résultats fondamentaux des théories de la demande Walrasienne, des préférences révélées et des décisions dans l'incertain. Ensuite, quant au producteur, l'objectif est d’analyser deux comportements classiques, c.-à-d. la maximisation du profit et la minimisation des coûts, et les liens entre les deux. Les méthodes mathématiques utilisées vont de la topologie, à l'analyse et l'optimisation sous contraintes.

Contenu du cours:

1. Préférences, maximisation des préférences sous contrainte budgétaire, demande Walrasienne.
2. Structures de choix, préférences révélées, axiome faible de la préférence révélée.
3. Théorie de l'utilité espérée, Théorème d'utilité de von Neumann-Morgenstern, paradoxes.
4. Ensemble de production, fonction de transformation, fonction de production, propriétés.
5. Maximisation du profit, offre du producteur.
6. Minimisation des coûts, demande du producteur.
7. Liens entre la maximisation du profit et la minimisation des coûts.

Références:

Mas-Colell, A., Whinston, M.D., Green, J., “Microeconomic Theory”, Oxford University Press, 1995.

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Objectifs: Provide the basic concepts of game theory and acquire the methods to  model and solve rigorously strategic situations. The course stresses the mathematics of the models. Every concept is illustrated by exercises.

 Contenu du cours:

1. Strategic games, domination, dominant strategies, sophisticated equilibria, Pareto solutions
2. Two-Player Zero-sum games: guaranteeing and defending, maxmin, minmax, value, prudent strategies, optimal strategies, saddle points
3. Nash equilibrium, Best reply correspondence, fixed point, existence
4. Extensive form games, Strategic associated games and subgames, 
5. sequential rationality, backward induction, subgame perfect equilibrium, relation to sophisticated equilibrium
6. Mixed strategies, mixed extension of a game, characterisation of Nash equilibria, calculations of Nash equilibria.
   
   

Références: books by:
-Moulin,
-Osborne and Rubinstein,
-Myerson,

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Objectifs : Option pricing in discrete and continuous time, with martingales use and first steps of stochastic calculus.

Contenu du cours :

Chapter I. Preliminaries
   1. Derivative products, description and use: Forward/Future contracts, Options
   2. Rates and discounting
   3. Arbitrage methods

Chapter II. Forward contracts pricing (reminder, in tutorial)

Chapter III. Mathematical tools
   1. Conditional expectation, martingale.

Chapter IV. Option pricing in discrete time
   1. N periods binomial model (Cox-Ross-Rubinstein); self-financing strategies,
   2. risk-neutral probability, martingale property of the discounted price process,
   3. option pricing, delta hedging.

Chapter V. Option pricing in continuous time: Black-Scholes model
   1. Brownian motion and Ito processes.
   2. Quadratic variation of the Brownian motion,
   3. Ito integral for a simple process,
   4. Extension to the computation of ∫B_tdB_t, 
   5. Ito lemma (heuristic proof).
   6. Black-Scholes model
   7. Partial differential equation approach, hedging from that equation.
   8. Probabilistic approach for European options,
   9. Girsanov theorem (particular case),
 10. Black Scholes formula, delta computation, use.

Références :

• Hull, Options, futures, and other derivative securities, Prentice-Hall (2018: 10th ed).
• Baxter, M. and Rennie, A., Cambridge University Press, 1996.
• Kwok, Y.K., Mathematical models of financial derivatives, Springer, 2nd edition, 2008 (3 first chapters). 
• Jacod, J., Protter, P. (2000) Probability Essentials. Springer.

Voir la page complète

Objectifs: Martingales and Markov chains in discrete time

Prerequisite: Probability with measure: σ-fields, measure space, measurable maps. Non-negative measures, integration of real valued functions. Convergence of sequences of real valued maps. Monotone convergence, Fatou lemma, dominated convergence (Lebesgue). Lp spaces. Probability measure. Random variables. Expectations of r.v. Independence of sub-σ-fields, independence of random variables.

Contenu du cours:

1. Conditional expectation, definition, properties
2. Discrete time processes, filtration, stopping time, Sigma-field of events determined prior to a stopping time
3. Discrete time Martingales, stopped martingales, optional sampling  theorem, maximal inequalities, convergence of martingales, regular martingales
4. Markov chains with countable states, conditional independence, Markov property, Markov sequences, transition matrix. Markov chains, communication classes, recurrence and transience, positive states, null states, invariant measures, ergodic properties
   
   

References

1. Jacques Neveu: Bases Mathématiques de la théorie des probabilités 
2. Jacques Neveu: Martingales en temps discret
3. Lacroix, P. Priouret, Cours: J. Lacroix, Probabilités approfondies, Université Pierre et Marie Curie, Master de Mathématiques, 2005-2006
4. Jean Jacod, Chaînes de Markov, Processus de Poisson et Applications, Université Pierre et Marie Curie, DEA de Probabilités et Applications, 2003-2004

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète

Voir la page complète